경우의 수 공식

경우의 수 공식

경우의 수는 어떤 상황에서 가능한 선택의 가짓수를 의미합니다 .이 개념은 수학은 물론, 일상생활 속 선택의 문제를 해결할 때도 매우 유용하게 쓰입니다.

경우의 수 공식

수학에서 경우의 수란 무엇인가?

아침에 셔츠 3벌과 바지 2벌 중 각각 하나씩 골라 입는다면 몇 가지의 조합이 가능한지 묻는 것도 경우의 수 문제입니다.

경우의 수를 정확하게 계산하려면 순서가 중요한지, 중복 선택이 가능한지, 각 선택이 독립적인지 등을 파악해야 합니다. 이러한 기준에 따라 경우의 수 공식은 크게 덧셈법칙, 곱셈법칙, 순열, 조합, 중복 조합으로 나뉩니다.

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1. 덧셈법칙 (합의 법칙)

정의: 두 개 이상의 선택지 중 하나만 선택할 경우, 전체 경우의 수는 각 선택지의 경우의 수를 더하면 됩니다.

공식: A + B
조건: A와 B는 서로 겹치지 않아야 함 (중복 선택 불가)

예시:
케이크 2종류, 과자 3종류가 있을 때, 그중 한 가지만 고르려면 총 경우의 수는 2 + 3 = 5가지입니다.

실생활 예시:

• 교내 행사에서 A팀은 댄스를, B팀은 노래를 준비했을 때, 어떤 공연 하나만 본다면 공연의 선택지는 2가지입니다.

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2. 곱셈법칙 (곱의 법칙)

정의: 두 단계 이상의 선택을 순서대로 할 때, 전체 경우의 수는 각 단계의 경우의 수를 곱하면 됩니다.

공식: A × B
조건: 각 선택이 독립적으로 이뤄짐

예시:
셔츠 3벌과 바지 2벌이 있을 때, 각각 하나씩 입는 경우는 3 × 2 = 6가지입니다.

실생활 예시:

• 점심 메뉴로 밥 3종류, 반찬 4종류가 있을 때 밥과 반찬을 하나씩 고르는 경우는 3 × 4 = 12가지입니다.

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3. 순열 (Permutation)

정의: n개의 항목 중에서 r개를 순서 있게 나열하는 경우의 수입니다.

공식:
nPr = n × (n - 1) × ... × (n - r + 1) = n! ÷ (n - r)!

예시:
5명 중에서 3명을 뽑아 줄을 세우는 경우:
5 × 4 × 3 = 60가지
또는 5P3 = 5! ÷ (5 - 3)! = 120 ÷ 2 = 60가지

실생활 예시:

• 오디션에서 5명의 참가자 중 1등, 2등, 3등을 뽑을 때 → 순서 중요 → 순열

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4. 조합 (Combination)

정의: n개의 항목 중에서 r개를 순서 상관없이 뽑는 경우의 수입니다.

공식:
nCr = n! ÷ [r! × (n - r)!]

예시:
6명 중 2명을 뽑는 경우:
6C2 = 6! ÷ (2! × 4!) = (6 × 5) ÷ (2 × 1) = 15가지

실생활 예시:

• 팀 회의에 참석할 대표 2명을 뽑을 때 → 순서 무관 → 조합

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5. 중복 조합

정의: 같은 항목을 중복해서 선택할 수 있는 경우의 수입니다.

공식:
중복 조합 = (n + r - 1)Cr

예시:
사탕 3종류 중 4개를 중복 선택할 수 있는 경우:
(3 + 4 - 1)C4 = 6C4 = 15가지

실생활 예시:

• 아이스크림 3가지 맛 중 4개를 골라 먹을 때, 같은 맛 여러 개 가능 → 중복 조합

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예제 문제로 이해하는 경우의 수

문제 1. 의상 고르기

상의 4벌, 하의 2벌이 있습니다. 각각 하나씩 입는 경우의 수는?
→ 4 × 2 = 8가지 (곱셈법칙 적용)

문제 2. 줄 세우기

학생 5명 중 3명을 뽑아 줄을 세우려 합니다.
→ 5P3 = 5 × 4 × 3 = 60가지

문제 3. 조 구성

8명 중에서 3명을 선택해 팀을 만들려면?
→ 8C3 = (8 × 7 × 6) ÷ (3 × 2 × 1) = 56가지

문제 4. 중복 사탕 고르기

사탕 3종 중에서 5개를 중복 허용하여 선택하려면?
→ (3 + 5 - 1)C5 = 7C5 = 21가지

문제 5. 독립적 선택

도시락 메뉴가 2종류, 음료수가 3종류 있습니다. 한 세트를 고르는 경우의 수는?
→ 2 × 3 = 6가지

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경우의 수 공식을 외우는 팁

1. “또는”이 나오면 덧셈법칙, “그리고”가 나오면 곱셈법칙
2. 순서가 중요하면 순열, 순서 상관없으면 조합
3. 중복 선택 가능하다면 중복 조합

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요약표로 보는 공식

유형	공식 설명	조건
덧셈법칙	A + B	선택 간 중복 불가
곱셈법칙	A × B	선택 간 독립성
순열	nPr = n! ÷ (n - r)!	순서 중요
조합	nCr = n! ÷ (r! × (n - r)!)	순서 무관
중복 조합	(n + r - 1)Cr	순서 무관, 중복 가능

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경우의 수 퀴즈: 문제와 해설

문제 1.

어떤 서점에서 책 4권 중 2권을 골라 순서 없이 구입하려고 합니다. 가능한 경우의 수는?
① 6가지
② 8가지
③ 12가지
④ 20가지
정답: ① 6가지
해설: 순서가 없으므로 조합입니다. 4C2 = 6

문제 2.

3종류의 커피 중에서 2잔을 중복 허용하여 선택하려 합니다. 가능한 조합의 수는?
① 6가지
② 9가지
③ 10가지
④ 12가지
정답: ③ 10가지
해설: 중복 조합 공식 (n + r - 1)Cr 사용. (3 + 2 - 1)C2 = 4C2 = 6
→ 오답 주의: 중복을 허용하므로 순열/조합과 다름.

문제 3.

5명의 후보 중 1등과 2등을 뽑는 경우 가능한 순서는?
① 10가지
② 20가지
③ 30가지
④ 60가지
정답: ④ 60가지
해설: 순서가 중요하므로 순열: 5P2 = 5 × 4 = 20
→ 실수 주의: 5C2와 헷갈리면 안 됨. 조합은 순서 무시.

문제 4.

2종류의 김밥과 3종류의 음료 중 각각 하나씩 골라 세트를 만들 수 있는 경우는?
① 5가지
② 6가지
③ 8가지
④ 9가지
정답: ② 6가지
해설: 곱셈법칙 사용. 2 × 3 = 6

문제 5.

7명 중에서 3명을 순서 없이 선택해 팀을 만들려고 합니다. 가능한 경우는?
① 35가지
② 42가지
③ 105가지
④ 210가지
정답: ① 35가지
해설: 조합 7C3 = (7 × 6 × 5) ÷ (3 × 2 × 1) = 35

경우의 수 공식

마무리

경우의 수 공식은 단순한 암기가 아니라 문제에 대한 분석 능력과 상황 판단력을 요구하는 개념입니다.
문제를 읽고 “순서가 중요한가?”, “중복이 가능한가?”, “각 단계는 독립적인가?” 등의 질문을 던져보며
공식을 적용하는 습관을 들인다면, 어떤 문제든 정확하고 빠르게 풀 수 있습니다.

복잡해 보이지만, 개념만 이해하면 경우의 수는 가장 체계적이고 논리적인 파트입니다.
수학이 아닌 현실에서도, 전략을 세우거나 확률을 따질 때 매우 유용한 도구가 되어줄 것입니다.